這篇答案主要側重于日語和韓語在現象上的相似之處。
 
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從語法上說，日語和韓語的語法是高度對應的。它們的句子都是由若干個“文節”（名詞帶著助詞）組成的，語序都是SOV（主賓謂），狀語等修飾成份位置比較隨意。各種助詞之間有幾乎一對一的對應關系。動詞、形容詞等有比較復雜的活用。
 
從詞匯上說，日語和韓語都從漢語和以英語為主的西方語言借入了大量實詞。也有一些漢字詞，是在日本被創造出來的，后來傳到了中國和韓國。這些詞匯在日語、韓語之間也是高度對應的。但是，日語、韓語的固有詞卻沒有對應關系。
 
從文字上說，日語使用漢字來書寫名詞，以及動詞、形容詞的詞干（若是非漢語的外來語，則用片假名書寫）；用平假名來書寫助詞，以及動詞、形容詞的詞尾。由于使用了漢字和假名兩套書寫系統，文節之間就不需要空格了。韓語現在僅用諺文書寫，文節之間用空格隔開。
 
由于書寫方式的不同，兩種語言的對應關系乍一看并不明顯。但一旦把韓文里的漢字詞也用漢字書寫，二者的對應就一目了然了：
日語：韓國語と日本語の関係はどうですか？
日語（文節間用空格隔開）：韓國語と 日本語の 関係は どうですか？
韓語：한국어와 일본어의 관계는 어떻습니까?
韓語（漢字詞用漢字書寫）：韓國語와 日本語의 關係는 어떻습니까?
這種程度的對應，使得在日韓對譯時大腦里基本不需要緩存，看到一個詞就可以馬上譯出來。

 
【Chris Xia】
 
我覺得在回答這個問題之前，有必要重新分析一下問題。問題問的是“韓語和日語的關系是怎樣的”，而并非是“韓語和日語有什么相同與不同之處”。所以對于現存的幾個回答，我都稍微有些悲觀。
我個人以為，題主所問的日語和韓語的關系，應該著重于看它們在歷史沿革中有沒有交叉點與共通影響，而不是簡單的語言現象的羅列；也就是說，這種“關系”應該是自歷史語言學出發的，而非是當代共時語言學的音系、語素、句法、詞匯乃至文字的描述。而不巧的是，我的歷史語言學幾乎等于沒學，所以我這里只能打腫自己的臉來充當胖子了。
 
日語和韓語的語系分類是當前東亞語言研究里爭議最大的內容之一。就目前的研究來看，這兩種語言都是單支傳承，日語（Japanese）的傳承體系是古日語—（中古日語）—現代日語，韓語（Korean）的傳承體系則是古韓語（也稱新羅語 Silla）—中古韓語—現代韓語。就二者現狀來看，并沒有交集，不過當今對高句麗語（Goguryeo）的研究實在是不充分，不能保證以后對高句麗語有了更多研究之后發現二者之間有著更深的關系。我的回答也只基于當前的猜想撰寫。
 
由于日語和韓語在地緣上十分接近，且在共時性語法中表現出了很多相似之處（可見典型的SOV句法特征、用言的活用等），學界中對于日語及韓語親緣關系的猜想頗多，可以分為以下幾種主要論點：
 
二者有親緣關系，同屬阿爾泰語系：Ramstedt將韓語劃分至阿爾泰語系中，而Roy Andrew Miller則將日語劃分至阿爾泰語系中，因此有該猜想。近年來支持此猜想的著作為An Etymological Dictionary of the Altaic Languages，出版于2003年。該猜想基于日語、韓語與阿爾泰語系諸語言（蒙古語、土耳其語等）的語音規則（如流音的分布）、句法規則等建立，但在同源詞上卻沒有足夠的證明。同源詞往往是歷史語言學中判斷語言親緣的一大證據，缺乏此證據即意味著在證明語言親緣方面有著較大的困難。重慶小語種培訓
 
二者有親緣關系，同屬?日韓—阿伊努語系：持此觀點的有Greenberg和John Street，二者均認為韓語和日語之間有明顯的親緣關系，并且與阿爾泰語之間有距離。二者觀點不同之處在于Greenberg認為阿爾泰語系和日韓語系之間并不存在更近的聯系，而John Street認為，在上古北亞語時期，日韓語系曾與阿爾泰語系產生分化，相比起印歐、烏拉爾等語系來說，日韓語系與阿爾泰語系關系更近。但是關于日語和韓語之間的同源詞，也缺乏足夠的證據；可能在對高句麗語進行研究之后會有更多的證據出現。
 
二者無親緣關系，韓語為孤立語言（language isolate，須與孤立語 isolated language 進行區分），日語系屬則有多種可能；在1和2的猜想證據均不足的情況下，這是目前比較通行的一種觀點：
 
日語屬日本—琉球語系（Japonic），這是目前Multitree和Ethnologue兩大網站采用的分類方式；
日語屬南島語系，與菲律賓、臺灣、太平洋諸島等地的語言同源，我曾經在中國出版的某本地圖上看到這種說法；
日語屬達羅毗荼語系（如大野晉觀點）；
日語屬漢藏語系藏緬語族（如西田龍雄觀點）；
日語為與韓語無關的孤立語言。
 
即使有同樣的句法形態、相近的借詞和類似的書寫方式（比如均曾經或正在使用漢字），由于同源詞的缺乏，這兩種語言之間也未必存在親緣關系；這大概就是比較精確的描述日語和韓語之間關系的說法了。

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